MindMap Gallery Advanced Mathematics Chapter 1 Limit, Function, Continuity
Postgraduate entrance examination mathematics, limit calculation of advanced numbers, properties of limits, nine commonly used methods to find limits, function limit question types, etc.
Edited at 2023-12-13 20:26:39Mappa mentale per l’analisi del controllo della gestione del portata di progetto. Tre sezioni principali: 1. WBS Scope Breakdown – scomposizione gerarchica del lavoro con dettaglio dello Scopo del progetto. 2. Scope Boundary / Exclusions – definizione chiara dei confini del progetto e di ciò che è escluso per evitare scope creep. Strumento ideale per project manager e team di controllo per mantenere allineamento e ridurre rischi.
Questo template, ideato con EdrawMind, è un modello completo per il miglioramento continuo del sistema di gestione della qualità, con una descrizione di circa 500 parole. È strutturato come un diagramma a lisca di pesce, strumento efficace per analizzare le cause principali dei problemi di qualità e definire le leve di controllo necessarie per risolverli. Il processo è organizzato in quattro fasi chiave: la prima è lo standard e la pianificazione, dove si definiscono gli obiettivi di qualità, i criteri di accettazione, i requisiti di prova e le porte di qualità (Quality Gate). La seconda fase analizza i processi e le porte di controllo, per garantire che ogni passaggio del lavoro segua i standard stabiliti. La terza fase riguarda l’esecuzione QA/QC, con la definizione di metodi di prova e ispezione, nonché regole per la gestione dei difetti e delle non conformità. L’ultima fase è il miglioramento e le azioni correttive e preventive (CAPA), insieme a una catena di audit per monitorare l’efficacia delle misure adottate. In basso, una tabella "Quality Gate" permette di tracciare ogni punto di controllo, con criteri specifici, metodi di prova, proprietario e stato di avanzamento. Grazie alla visualizzazione chiara e intuitiva di EdrawMind, questo strumento aiuta il team a identificare le cause root dei problemi di qualità, implementare azioni efficaci e mantenere un ciclo di miglioramento continuo, garantendo la qualità finale del prodotto o servizio.
Questo template, creato con EdrawMind, è un modello di piano di comunicazione ottimizzato, con una descrizione di circa 500 parole. È uno strumento chiave per evitare incomprensioni tra stakeholder, garantire la trasparenza e mantenere il team allineato agli obiettivi del progetto. Il modello è composto da tre elementi fondamentali e interconnessi: la matrice di comunicazione, la cadenza timeline e le regole di comunicazione/SLA. La matrice di comunicazione è una tabella dettagliata dove per ogni pubblico o stakeholder, si definisce il tipo di informazioni da condividere, lo scopo della comunicazione, il canale da utilizzare (email, riunioni, piattaforme di progetto), la frequenza, il proprietario responsabile, il formato e il percorso di escalazione in caso di problemi. La cadenza timeline è una linea temporale che definisce le scadenze delle comunicazioni chiave, garantendo che le informazioni siano condivise in momento opportuno e non si verifichino ritardi o omissioni. Le regole di comunicazione e gli accordi sul livello di servizio (SLA) definiscono le norme formali della comunicazione, come i tempi di risposta, il tono da adottare e le responsabilità di ciascun membro del team. Grazie alla struttura visuale di EdrawMind, questo template permette di pianificare la comunicazione in modo strategico, trasparente e efficiente, riducendo i rischi di cattiva informazione, migliorando la collaborazione e garantendo che tutti gli stakeholder siano informati e coinvolti nel progetto.
Mappa mentale per l’analisi del controllo della gestione del portata di progetto. Tre sezioni principali: 1. WBS Scope Breakdown – scomposizione gerarchica del lavoro con dettaglio dello Scopo del progetto. 2. Scope Boundary / Exclusions – definizione chiara dei confini del progetto e di ciò che è escluso per evitare scope creep. Strumento ideale per project manager e team di controllo per mantenere allineamento e ridurre rischi.
Questo template, ideato con EdrawMind, è un modello completo per il miglioramento continuo del sistema di gestione della qualità, con una descrizione di circa 500 parole. È strutturato come un diagramma a lisca di pesce, strumento efficace per analizzare le cause principali dei problemi di qualità e definire le leve di controllo necessarie per risolverli. Il processo è organizzato in quattro fasi chiave: la prima è lo standard e la pianificazione, dove si definiscono gli obiettivi di qualità, i criteri di accettazione, i requisiti di prova e le porte di qualità (Quality Gate). La seconda fase analizza i processi e le porte di controllo, per garantire che ogni passaggio del lavoro segua i standard stabiliti. La terza fase riguarda l’esecuzione QA/QC, con la definizione di metodi di prova e ispezione, nonché regole per la gestione dei difetti e delle non conformità. L’ultima fase è il miglioramento e le azioni correttive e preventive (CAPA), insieme a una catena di audit per monitorare l’efficacia delle misure adottate. In basso, una tabella "Quality Gate" permette di tracciare ogni punto di controllo, con criteri specifici, metodi di prova, proprietario e stato di avanzamento. Grazie alla visualizzazione chiara e intuitiva di EdrawMind, questo strumento aiuta il team a identificare le cause root dei problemi di qualità, implementare azioni efficaci e mantenere un ciclo di miglioramento continuo, garantendo la qualità finale del prodotto o servizio.
Questo template, creato con EdrawMind, è un modello di piano di comunicazione ottimizzato, con una descrizione di circa 500 parole. È uno strumento chiave per evitare incomprensioni tra stakeholder, garantire la trasparenza e mantenere il team allineato agli obiettivi del progetto. Il modello è composto da tre elementi fondamentali e interconnessi: la matrice di comunicazione, la cadenza timeline e le regole di comunicazione/SLA. La matrice di comunicazione è una tabella dettagliata dove per ogni pubblico o stakeholder, si definisce il tipo di informazioni da condividere, lo scopo della comunicazione, il canale da utilizzare (email, riunioni, piattaforme di progetto), la frequenza, il proprietario responsabile, il formato e il percorso di escalazione in caso di problemi. La cadenza timeline è una linea temporale che definisce le scadenze delle comunicazioni chiave, garantendo che le informazioni siano condivise in momento opportuno e non si verifichino ritardi o omissioni. Le regole di comunicazione e gli accordi sul livello di servizio (SLA) definiscono le norme formali della comunicazione, come i tempi di risposta, il tono da adottare e le responsabilità di ciascun membro del team. Grazie alla struttura visuale di EdrawMind, questo template permette di pianificare la comunicazione in modo strategico, trasparente e efficiente, riducendo i rischi di cattiva informazione, migliorando la collaborazione e garantendo che tutti gli stakeholder siano informati e coinvolti nel progetto.
central theme
properties of limits
sequence limit
definition
Geometric meaning: For any ε neighborhood of point a, that is, the open interval (a−ε, a ε), there must be N. When n>N, that is, the points x0 after the Nth item all fall in the open interval (a−ε, a ε), and only a limited number (at most N) are outside this interval.
Whether the limit of a sequence exists/what the limit value is equal to is completely independent of the previous finite term. Modifying/deleting the finite term of the sequence will not affect its convergence.
function limit
definition
The independent variable tends to infinity: note that x→∞ in the function limit refers to ∣x∣→ ∞
The independent variable tends to a finite value: here x tends to x0 and is not equal to x0. The limit value is only related to the derivative value in the decentered neighborhood of x=x0
Determination of the existence of limits
The left and right limits exist and are equal
Three cases of left and right limits need to be discussed: ①The limit of the piecewise function at the dividing point ②e∞ type limit ③arctan∞ type infinity
Three properties of limits
Boundedness
The boundedness of the limit of a sequence: xn must be bounded to converge, but bounded does not necessarily mean it will converge.
Local boundedness of function limit: if limx→x0f(x) exists, Then f(x) is bounded in the decentered neighborhood of point x0.
If the limit exists at a point, it can be inferred that it is locally bounded at that point, but the inverse is not true.
Remember the counterexample sin1/x
Number preservation (the limit of a sequence corresponds to the limit of a function) limx→x0f(x)=A
If A>0(<0), then f(x)>0(<0) in the centroid neighborhood
If f(x)≥0 (≤0) in the centroid neighborhood, then A≥0 (≤0); Or f(x)>0 in the centroid neighborhood, it can also be deduced that A≥0
Local sign preservation of continuous functions: If the function f(x) is defined in a certain decentered neighborhood of x=a point 0<∣x−a∣<r, f(x) is continuous at point x=a, and f(a)>0 (or <0), then there exists a certain (solid) neighborhood∣x−a∣<δ, For all x in the decentered neighborhood, f(x)>0 (or <0) is always present.
Order preservation: Let limx→x0f(x)=a, limx→x0g(x)=b
The relationship between function values and limit values
limit existence criterion
Clamping Criterion
Monotone bounded criterion: Monotone bounded sequence must have a limit
A sequence that is monotonically increasing and has an upper bound must have a limit. A sequence that is monotonically decreasing and has a lower bound must have a limit.
infinitesimal amount
infinitesimal concept
Infinitely small ratio: Suppose limα(x)=0, limβ(x)=0
properties of infinitesimals
The sum of a finite number of infinitesimals is still infinitesimal The product of a finite number of infinitesimals is still infinitesimal The product of an infinitesimal quantity and a bounded quantity is still infinitesimal
Cannot be extended to infinity
infinite amount
concept of infinity
Commonly used infinity comparisons of sequence limits
Common infinity comparisons of function limits
properties of infinity
The product of two (can also be extended to finite) infinite quantities is still an infinite quantity
The sum of two infinities is not necessarily infinite
The sum of an infinite quantity and a bounded variable is still an infinite quantity
The product of an infinite quantity and a bounded variable is not necessarily infinite
The relationship between infinity and unbounded variables
Infinity must be unbounded, but unbounded does not necessarily mean infinite.
Infinity x infinity must be infinite, but unbounded x unbounded is not necessarily an unbounded variable
The relationship between infinity and infinitesimal
In the same limit, if f(x) is infinite, then 1/f(x) is infinitesimal; Conversely, if f(x) is infinitesimal and f(x) is not equal to 0, then 1/f(x) is infinite.
Nine commonly used methods to find limits
①Rational operation rules
Corollary 1: The limiting non-zero factor can be found first Corollary 2: If lim f(x)/g(x) exists and lim g(x)=0, then there must be lim f(x)=0
Corollary 3: If lim f(x)/g(x) =A (A is not 0, if limf(x)=0, then there must be lim g(x)=0
exists ± does not exist = does not exist Does not exist ± does not exist = not necessarily exists × (÷) does not exist = not necessarily Does not exist × (÷) does not exist = not necessarily
Continuous (continuous ± discontinuous = discontinuous, the rest are not necessarily) Differentiable (differentiable ± non-differentiable = non-differentiable, the rest are not necessarily different) Series (convergence ± divergence = divergence, the rest are not necessarily)
basic limit
Common conclusions of the "1∞" type: If limα(x)=0, limβ(x)=∞, and limα(x)limβ(x)=A, then lim(1 α(x))β(x)=eA
Equivalent infinitesimal substitution
Commonly used equivalent infinitesimal (when x → 0)
substitution principle
You can change the multiplication and division factors at will
Additive substitution: the ratio of the two addition terms is not negative one Subtraction substitution: two subtraction terms are not equivalent
Learn to actively create equivalent infinitesimal substitution conditions through addition and subtraction terms
Equivalent substitution of variable upper limit points
Lópida
3 prerequisites for using Lópida’s Law
If f(x) is differentiable to order n, the use of Lópida's rule can only occur up to n−1 order of f(x). If f(x) has an n-th order continuous derivative, using L'Hobida's rule, it can appear to the n-th order of f(x).
Taylor formula
Clamping Criterion
Definite integral definition
Put 1/n, find the integrand, and determine the upper and lower limits of the integral
mean value theorem
Lagrange's mean value theorem
Integral mean value theorem
Generalized mean value theorem of integrals
Function limit question type
seven infinitives
0/0
Lópida
Taylor formula
Equivalent infinitesimal substitution
Infinity is better than infinity
Lópida
The numerator and denominator are divided by the highest order term (find the boss)
When X tends to zero, the lower level is the boss
When X tends to infinity, the higher order is the boss
0⋅∞
Become 0 to 0, or infinity to infinity
∞−∞
Pass differentiation into 0 to 0 type (applicable to fractional difference)
Rationalization of radical expressions (applicable to radical differences)
If the power of the square root is higher, consider Lagrange's mean value theorem or (1 x)α−1∼αx
When there is no denominator in the function
Add infinite factors and make up the equivalent infinitesimal substitution
Replacement
Taylor formula
1∞
rewritten in exponential form
Make up the second important limit
∞0 and 00
This is the power function form, rewritten as ln in the exponential form e
Generalization conclusion: α(x)→0, α(x)β(x)→0, then (1 α(x))β(x)−1∼α(x)β(x)